Rezolvați 5x^2=11x-2

$$5 { x }^{ 2 } = 11x-2$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 11x din ambele părți.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=5\times 2=10$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-10 b=-1$$

Rescrieți 5x^{2}-11x+2 ca \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-x+2\right)$$

Factor 5x în primul și -1 în al doilea grup.

$$5x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(5x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și 5x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 11x din ambele părți.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Adăugați 2 la ambele părți.

$$5x^{2}-11x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -11 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\times 2}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\times 2}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-40}}{2\times 5}$$

Adunați 121 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±9}{2\times 5}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±9}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{11±9}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±9}{10} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 9.

$$x=\frac{20}{10}$$

Împărțiți 20 la 10.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±9}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 11.

$$x=\frac{2}{10}$$

Reduceți fracția \frac{2}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 11x din ambele părți.

$$5x^{2}-11x=-2$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-11x}{5}=-\frac{2}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x=-\frac{2}{5}$$

Împărțiți -\frac{11}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=-\frac{2}{5}+\frac{121}{100}$$

Adunați -\frac{2}{5} cu \frac{121}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}=\frac{81}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{5}x+\frac{121}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{10}=\frac{9}{10} x-\frac{11}{10}=-\frac{9}{10}$$

Adunați \frac{11}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=\frac{1}{5}$$