Rezolvați 5=10t+5t^2

$$5 = 10 t + 5 t ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru t

$$t=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$t=-\sqrt{2}-1\approx -2,414213562$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$10t+5t^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$10t+5t^{2}-5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5t^{2}+10t-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 10 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 10 la pătrat.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-5\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -5.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100+100}}{2\times 5}$$

Adunați 100 cu 100.

$$t=\frac{-10±\sqrt{200}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 200.

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} atunci când ± este plus. Adunați -10 cu 10\sqrt{2}.

$$t=\frac{10\sqrt{2}-10}{10}$$

Împărțiți -10+10\sqrt{2} la 10.

$$t=\sqrt{2}-1$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-10±10\sqrt{2}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 10\sqrt{2} din -10.

$$t=\frac{-10\sqrt{2}-10}{10}$$

Împărțiți -10-10\sqrt{2} la 10.

$$t=-\sqrt{2}-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$10t+5t^{2}=5$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}+10t=5$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5t^{2}+10t}{5}=\frac{5}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$t^{2}+\frac{10}{5}t=\frac{5}{5}$$

Împărțiți 10 la 5.

$$t^{2}+2t=\frac{5}{5}$$

Împărțiți 5 la 5.

$$t^{2}+2t=1$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+2t+1^{2}=1+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$t^{2}+2t+1=1+1$$

Adunați 1 cu 1.

$$t^{2}+2t+1=2$$

Factor t^{2}+2t+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+1\right)^{2}=2$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Simplificați.

$$t+1=\sqrt{2} t+1=-\sqrt{2}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$t=\sqrt{2}-1 t=-\sqrt{2}-1$$