Rezolvați 49n^2-56n+16

$$49 n ^ { 2 } - 56 n + 16$$

Descompunere în factori

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 49n^{2}+an+bn+16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-56 ab=49\times 16=784$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 784.

$$-1,-784 -2,-392 -4,-196 -7,-112 -8,-98 -14,-56 -16,-49 -28,-28$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-784=-785 -2-392=-394 -4-196=-200 -7-112=-119 -8-98=-106 -14-56=-70 -16-49=-65 -28-28=-56$$

Soluția este perechea care dă suma de -56.

$$a=-28 b=-28$$

Rescrieți 49n^{2}-56n+16 ca \left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right).

$$\left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right)$$

Factor 7n în primul și -4 în al doilea grup.

$$7n\left(7n-4\right)-4\left(7n-4\right)$$

Scoateți termenul comun 7n-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(49n^{2}-56n+16)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(49,-56,16)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}-56n+16=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

Ridicați -56 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -4 cu 49.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-196\times 16}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -196 cu 16.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-3136}}{2\times 49}$$

Adunați 3136 cu -3136.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±0}{2\times 49}$$

Opusul lui -56 este 56.

$$n=\frac{56±0}{2\times 49}$$

Înmulțiți 2 cu 49.

$$n=\frac{56±0}{98}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{4}{7} și x_{2} cu \frac{4}{7}.

$$49n^{2}-56n+16=49\left(n-\frac{4}{7}\right)\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

Scădeți \frac{4}{7} din n găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

Scădeți \frac{4}{7} din n găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\times \frac{7n-4}{7}$$

Înmulțiți \frac{7n-4}{7} cu \frac{7n-4}{7} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{7\times 7}$$

Înmulțiți 7 cu 7.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{49}$$

Simplificați cu 49, cel mai mare factor comun din 49 și 49.

$$49n^{2}-56n+16=\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

Evaluați

$$\left(7n-4\right)^{2}$$