Rezolvați 49x^2-37x-1=0

$$49 { x }^{ 2 } -37x-1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98}\approx 0,781225315$$

$$x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}\approx -0,026123274$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$49x^{2}-37x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 49, b cu -37 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{\left(-37\right)^{2}-4\times 49\left(-1\right)}}{2\times 49}$$

Ridicați -37 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-4\times 49\left(-1\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -4 cu 49.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-196\left(-1\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -196 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369+196}}{2\times 49}$$

Adunați 1369 cu 196.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1565}}{2\times 49}$$

Opusul lui -37 este 37.

$$x=\frac{37±\sqrt{1565}}{2\times 49}$$

Înmulțiți 2 cu 49.

$$x=\frac{37±\sqrt{1565}}{98}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{37±\sqrt{1565}}{98} atunci când ± este plus. Adunați 37 cu \sqrt{1565}.

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{37±\sqrt{1565}}{98} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{1565} din 37.

$$x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98} x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-37x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$49x^{2}-37x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$49x^{2}-37x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$49x^{2}-37x=1$$

Se împart ambele părți la 49.

$$\frac{49x^{2}-37x}{49}=\frac{1}{49}$$

Împărțirea la 49 anulează înmulțirea cu 49.

$$x^{2}-\frac{37}{49}x=\frac{1}{49}$$

Împărțiți -\frac{37}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{37}{98}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{37}{98} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{37}{49}x+\left(-\frac{37}{98}\right)^{2}=\frac{1}{49}+\left(-\frac{37}{98}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{37}{98} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{37}{49}x+\frac{1369}{9604}=\frac{1}{49}+\frac{1369}{9604}$$

Adunați \frac{1}{49} cu \frac{1369}{9604} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{37}{49}x+\frac{1369}{9604}=\frac{1565}{9604}$$

Factor x^{2}-\frac{37}{49}x+\frac{1369}{9604}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37}{98}\right)^{2}=\frac{1565}{9604}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1565}{9604}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{37}{98}=\frac{\sqrt{1565}}{98} x-\frac{37}{98}=-\frac{\sqrt{1565}}{98}$$

Adunați \frac{37}{98} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{1565}+37}{98} x=\frac{37-\sqrt{1565}}{98}$$