Rezolvați 49x^2-200x-500=0

$$49 { x }^{ 2 } -200x-500=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{10 \sqrt{345} + 100}{49} \approx 5,831464412$$

$$x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}\approx -1,749831759$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$49x^{2}-200x-500=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 49, b cu -200 și c cu -500 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\times 49\left(-500\right)}}{2\times 49}$$

Ridicați -200 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\times 49\left(-500\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -4 cu 49.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-196\left(-500\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -196 cu -500.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+98000}}{2\times 49}$$

Adunați 40000 cu 98000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{138000}}{2\times 49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 138000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±20\sqrt{345}}{2\times 49}$$

Opusul lui -200 este 200.

$$x=\frac{200±20\sqrt{345}}{2\times 49}$$

Înmulțiți 2 cu 49.

$$x=\frac{200±20\sqrt{345}}{98}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{200±20\sqrt{345}}{98} atunci când ± este plus. Adunați 200 cu 20\sqrt{345}.

$$x=\frac{20\sqrt{345}+200}{98}$$

Împărțiți 200+20\sqrt{345} la 98.

$$x=\frac{10\sqrt{345}+100}{49}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{200±20\sqrt{345}}{98} atunci când ± este minus. Scădeți 20\sqrt{345} din 200.

$$x=\frac{200-20\sqrt{345}}{98}$$

Împărțiți 200-20\sqrt{345} la 98.

$$x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{10\sqrt{345}+100}{49} x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-200x-500=0$$

Adunați 500 la ambele părți ale ecuației.

$$49x^{2}-200x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

Scăderea -500 din el însuși are ca rezultat 0.

$$49x^{2}-200x=-\left(-500\right)$$

Scădeți -500 din 0.

$$49x^{2}-200x=500$$

Se împart ambele părți la 49.

$$\frac{49x^{2}-200x}{49}=\frac{500}{49}$$

Împărțirea la 49 anulează înmulțirea cu 49.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x=\frac{500}{49}$$

Împărțiți -\frac{200}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{100}{49}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{100}{49} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\left(-\frac{100}{49}\right)^{2}=\frac{500}{49}+\left(-\frac{100}{49}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{100}{49} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}=\frac{500}{49}+\frac{10000}{2401}$$

Adunați \frac{500}{49} cu \frac{10000}{2401} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}=\frac{34500}{2401}$$

Factor x^{2}-\frac{200}{49}x+\frac{10000}{2401}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{100}{49}\right)^{2}=\frac{34500}{2401}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{100}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{34500}{2401}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{100}{49}=\frac{10\sqrt{345}}{49} x-\frac{100}{49}=-\frac{10\sqrt{345}}{49}$$

Adunați \frac{100}{49} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{10\sqrt{345}+100}{49} x=\frac{100-10\sqrt{345}}{49}$$