Rezolvați 45x^2-8x-21

$$45 x ^ { 2 } - 8 x - 21$$

Descompunere în factori

$$\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 45x^{2}+ax+bx-21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=45\left(-21\right)=-945$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -945.

$$1,-945 3,-315 5,-189 7,-135 9,-105 15,-63 21,-45 27,-35$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-945=-944 3-315=-312 5-189=-184 7-135=-128 9-105=-96 15-63=-48 21-45=-24 27-35=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-35 b=27$$

Rescrieți 45x^{2}-8x-21 ca \left(45x^{2}-35x\right)+\left(27x-21\right).

$$\left(45x^{2}-35x\right)+\left(27x-21\right)$$

Factor 5x în primul și 3 în al doilea grup.

$$5x\left(9x-7\right)+3\left(9x-7\right)$$

Scoateți termenul comun 9x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$45x^{2}-8x-21=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 45\left(-21\right)}}{2\times 45}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 45\left(-21\right)}}{2\times 45}$$

Înmulțiți -4 cu 45.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-180\left(-21\right)}}{2\times 45}$$

Înmulțiți -180 cu -21.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+3780}}{2\times 45}$$

Adunați 64 cu 3780.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{3844}}{2\times 45}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3844.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±62}{2\times 45}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±62}{2\times 45}$$

Înmulțiți 2 cu 45.

$$x=\frac{8±62}{90}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±62}{90} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 62.

$$x=\frac{70}{90}$$

Reduceți fracția \frac{70}{90} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{7}{9}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±62}{90} atunci când ± este minus. Scădeți 62 din 8.

$$x=-\frac{54}{90}$$

Reduceți fracția \frac{-54}{90} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 18.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{7}{9} și x_{2} cu -\frac{3}{5}.

$$45x^{2}-8x-21=45\left(x-\frac{7}{9}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$45x^{2}-8x-21=45\left(x-\frac{7}{9}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Scădeți \frac{7}{9} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{9x-7}{9}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Adunați \frac{3}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{9x-7}{9}\times \frac{5x+3}{5}$$

Înmulțiți \frac{9x-7}{9} cu \frac{5x+3}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)}{9\times 5}$$

Înmulțiți 9 cu 5.

$$45x^{2}-8x-21=45\times \frac{\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)}{45}$$

Simplificați cu 45, cel mai mare factor comun din 45 și 45.

$$45x^{2}-8x-21=\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$

Evaluați

$$\left(9x-7\right)\left(5x+3\right)$$