Rezolvați 45x^2-69x+12

$$45 x ^ { 2 } - 69 x + 12$$

Descompunere în factori

$$3\left(3x-4\right)\left(5x-1\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 3.

$$3\left(15x^{2}-23x+4\right)$$

Să luăm 15x^{2}-23x+4. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 15x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-23 ab=15\times 4=60$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Soluția este perechea care dă suma de -23.

$$a=-20 b=-3$$

Rescrieți 15x^{2}-23x+4 ca \left(15x^{2}-20x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Factor 5x în primul și -1 în al doilea grup.

$$5x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-4\right)\left(5x-1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$3\left(3x-4\right)\left(5x-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$45x^{2}-69x+12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{\left(-69\right)^{2}-4\times 45\times 12}}{2\times 45}$$

Ridicați -69 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-4\times 45\times 12}}{2\times 45}$$

Înmulțiți -4 cu 45.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-180\times 12}}{2\times 45}$$

Înmulțiți -180 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{4761-2160}}{2\times 45}$$

Adunați 4761 cu -2160.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±\sqrt{2601}}{2\times 45}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2601.

$$x=\frac{-\left(-69\right)±51}{2\times 45}$$

Opusul lui -69 este 69.

$$x=\frac{69±51}{2\times 45}$$

Înmulțiți 2 cu 45.

$$x=\frac{69±51}{90}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{69±51}{90} atunci când ± este plus. Adunați 69 cu 51.

$$x=\frac{120}{90}$$

Reduceți fracția \frac{120}{90} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 30.

$$x=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{69±51}{90} atunci când ± este minus. Scădeți 51 din 69.

$$x=\frac{18}{90}$$

Reduceți fracția \frac{18}{90} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 18.

$$x=\frac{1}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{4}{3} și x_{2} cu \frac{1}{5}.

$$45x^{2}-69x+12=45\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\frac{1}{5}\right)$$

Scădeți \frac{4}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$45x^{2}-69x+12=45\times \frac{3x-4}{3}\left(x-\frac{1}{5}\right)$$

Scădeți \frac{1}{5} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$45x^{2}-69x+12=45\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x-1}{5}$$

Înmulțiți \frac{3x-4}{3} cu \frac{5x-1}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$45x^{2}-69x+12=45\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x-1\right)}{3\times 5}$$

Înmulțiți 3 cu 5.

$$45x^{2}-69x+12=45\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x-1\right)}{15}$$

Simplificați cu 15, cel mai mare factor comun din 45 și 15.

$$45x^{2}-69x+12=3\left(3x-4\right)\left(5x-1\right)$$

Evaluați

$$45x^{2}-69x+12$$