Rezolvați 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 42x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -126 de produs.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-14 b=9$$

Rescrieți 42x^{2}-5x-3 ca \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Scoateți scoateți factorul 14x din primul și 3 din cel de-al doilea grup.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 3x-1=0 și 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 42, b cu -5 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Înmulțiți -4 cu 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Înmulțiți -168 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Adunați 25 cu 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Înmulțiți 2 cu 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±23}{84} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Reduceți fracția \frac{28}{84} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±23}{84} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{84} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Se împart ambele părți la 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Împărțirea la 42 anulează înmulțirea cu 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Reduceți fracția \frac{3}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Împărțiți -\frac{5}{42}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{84}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{84} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{84} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Adunați \frac{1}{14} cu \frac{25}{7056} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Factorul x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Adunați \frac{5}{84} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$