Rezolvați 42x^2-696x+3240=0

$$42 { x }^{ 2 } -696x+3240=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7}\approx 8,285714286+2,913725436i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}\approx 8,285714286-2,913725436i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$42x^{2}-696x+3240=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 42, b cu -696 și c cu 3240 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{\left(-696\right)^{2}-4\times 42\times 3240}}{2\times 42}$$

Ridicați -696 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{484416-4\times 42\times 3240}}{2\times 42}$$

Înmulțiți -4 cu 42.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{484416-168\times 3240}}{2\times 42}$$

Înmulțiți -168 cu 3240.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{484416-544320}}{2\times 42}$$

Adunați 484416 cu -544320.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{-59904}}{2\times 42}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -59904.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±48\sqrt{26}i}{2\times 42}$$

Opusul lui -696 este 696.

$$x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{2\times 42}$$

Înmulțiți 2 cu 42.

$$x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{84}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{84} atunci când ± este plus. Adunați 696 cu 48i\sqrt{26}.

$$x=\frac{696+48\sqrt{26}i}{84}$$

Împărțiți 696+48i\sqrt{26} la 84.

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{84} atunci când ± este minus. Scădeți 48i\sqrt{26} din 696.

$$x=\frac{-48\sqrt{26}i+696}{84}$$

Împărțiți 696-48i\sqrt{26} la 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7} x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-696x+3240=0$$

Scădeți 3240 din ambele părți ale ecuației.

$$42x^{2}-696x+3240-3240=-3240$$

Scăderea 3240 din el însuși are ca rezultat 0.

$$42x^{2}-696x=-3240$$

Se împart ambele părți la 42.

$$\frac{42x^{2}-696x}{42}=-\frac{3240}{42}$$

Împărțirea la 42 anulează înmulțirea cu 42.

$$x^{2}+\left(-\frac{696}{42}\right)x=-\frac{3240}{42}$$

Reduceți fracția \frac{-696}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x=-\frac{3240}{42}$$

Reduceți fracția \frac{-3240}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x=-\frac{540}{7}$$

Împărțiți -\frac{116}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{58}{7}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{58}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x+\left(-\frac{58}{7}\right)^{2}=-\frac{540}{7}+\left(-\frac{58}{7}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{58}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x+\frac{3364}{49}=-\frac{540}{7}+\frac{3364}{49}$$

Adunați -\frac{540}{7} cu \frac{3364}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x+\frac{3364}{49}=-\frac{416}{49}$$

Factor x^{2}-\frac{116}{7}x+\frac{3364}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{58}{7}\right)^{2}=-\frac{416}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{58}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{416}{49}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{58}{7}=\frac{4\sqrt{26}i}{7} x-\frac{58}{7}=-\frac{4\sqrt{26}i}{7}$$

Adunați \frac{58}{7} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7} x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}$$