Rezolvați 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 419, b cu -918 și c cu 459 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Ridicați -918 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Înmulțiți -4 cu 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Înmulțiți -1676 cu 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Adunați 842724 cu -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Opusul lui -918 este 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Înmulțiți 2 cu 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} atunci când ± este plus. Adunați 918 cu 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Împărțiți 918+12\sqrt{510} la 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} atunci când ± este minus. Scădeți 12\sqrt{510} din 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Împărțiți 918-12\sqrt{510} la 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Scădeți 459 din ambele părți ale ecuației.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Scăderea 459 din el însuși are ca rezultat 0.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Se împart ambele părți la 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Împărțirea la 419 anulează înmulțirea cu 419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Împărțiți -\frac{918}{419}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{459}{419}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{459}{419} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{459}{419} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Adunați -\frac{459}{419} cu \frac{210681}{175561} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Factor x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Adunați \frac{459}{419} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$