Rezolvați 40x-80+6x+12-3x^2+6x-6x+12=0

$$40x-80+6x+12-3 { x }^{ 2 } +6x-6x+12=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=14$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Combinați 40x cu 6x pentru a obține 46x.

$$46x-80+12-3x^{2}+6x-6x+12=0$$

Adunați -80 și 12 pentru a obține -68.

$$46x-68-3x^{2}+6x-6x+12=0$$

Combinați 46x cu 6x pentru a obține 52x.

$$52x-68-3x^{2}-6x+12=0$$

Combinați 52x cu -6x pentru a obține 46x.

$$46x-68-3x^{2}+12=0$$

Adunați -68 și 12 pentru a obține -56.

$$46x-56-3x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}+46x-56=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx-56. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=46 ab=-3\left(-56\right)=168$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 168.

$$1,168 2,84 3,56 4,42 6,28 7,24 8,21 12,14$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+168=169 2+84=86 3+56=59 4+42=46 6+28=34 7+24=31 8+21=29 12+14=26$$

Soluția este perechea care dă suma de 46.

$$a=42 b=4$$

Rescrieți -3x^{2}+46x-56 ca \left(-3x^{2}+42x\right)+\left(4x-56\right).

$$\left(-3x^{2}+42x\right)+\left(4x-56\right)$$

Factor 3x în primul și -4 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+14\right)-4\left(-x+14\right)$$

Scoateți termenul comun -x+14 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+14\right)\left(3x-4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+14=0 și 3x-4=0.

$$x=14 x=\frac{4}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați 40x cu 6x pentru a obține 46x.

$$46x-80+12-3x^{2}+6x-6x+12=0$$

Adunați -80 și 12 pentru a obține -68.

$$46x-68-3x^{2}+6x-6x+12=0$$

Combinați 46x cu 6x pentru a obține 52x.

$$52x-68-3x^{2}-6x+12=0$$

Combinați 52x cu -6x pentru a obține 46x.

$$46x-68-3x^{2}+12=0$$

Adunați -68 și 12 pentru a obține -56.

$$46x-56-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}+46x-56=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu 46 și c cu -56 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\left(-3\right)\left(-56\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați 46 la pătrat.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\left(-3\right)\left(-56\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116+12\left(-56\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu -56.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-672}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 2116 cu -672.

$$x=\frac{-46±\sqrt{1444}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1444.

$$x=\frac{-46±38}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{-46±38}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-46±38}{-6} atunci când ± este plus. Adunați -46 cu 38.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-46±38}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 38 din -46.

$$x=-\frac{84}{-6}$$

Împărțiți -84 la -6.

$$x=14$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4}{3} x=14$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați 40x cu 6x pentru a obține 46x.

$$46x-80+12-3x^{2}+6x-6x+12=0$$

Adunați -80 și 12 pentru a obține -68.

$$46x-68-3x^{2}+6x-6x+12=0$$

Combinați 46x cu 6x pentru a obține 52x.

$$52x-68-3x^{2}-6x+12=0$$

Combinați 52x cu -6x pentru a obține 46x.

$$46x-68-3x^{2}+12=0$$

Adunați -68 și 12 pentru a obține -56.

$$46x-56-3x^{2}=0$$

Adăugați 56 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$46x-3x^{2}=56$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+46x=56$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}+46x}{-3}=\frac{56}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\frac{46}{-3}x=\frac{56}{-3}$$

Împărțiți 46 la -3.

$$x^{2}-\frac{46}{3}x=\frac{56}{-3}$$

Împărțiți 56 la -3.

$$x^{2}-\frac{46}{3}x=-\frac{56}{3}$$

Împărțiți -\frac{46}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{23}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{23}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{46}{3}x+\left(-\frac{23}{3}\right)^{2}=-\frac{56}{3}+\left(-\frac{23}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{23}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{46}{3}x+\frac{529}{9}=-\frac{56}{3}+\frac{529}{9}$$

Adunați -\frac{56}{3} cu \frac{529}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{46}{3}x+\frac{529}{9}=\frac{361}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{46}{3}x+\frac{529}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{3}\right)^{2}=\frac{361}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{23}{3}=\frac{19}{3} x-\frac{23}{3}=-\frac{19}{3}$$

Adunați \frac{23}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=14 x=\frac{4}{3}$$