Rezolvați 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Rezolvați pentru z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4z^{2}+60z=800$$

Scădeți 800 din ambele părți ale ecuației.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Scăderea 800 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 60 și c cu -800 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 60 la pătrat.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Adunați 3600 cu 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -60 cu 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Împărțiți -60+20\sqrt{41} la 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 20\sqrt{41} din -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Împărțiți -60-20\sqrt{41} la 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Împărțiți 60 la 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Împărțiți 800 la 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Împărțiți 15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Adunați 200 cu \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Factor z^{2}+15z+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Simplificați.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Scădeți \frac{15}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$