Rezolvați 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4y^{2}+ay+by+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-8 b=-1$$

Rescrieți 4y^{2}-9y+2 ca \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

Factor 4y în primul și -1 în al doilea grup.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Scoateți termenul comun y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-2=0 și 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -9 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Adunați 81 cu -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{9±7}{8} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Împărțiți 16 la 8.

$$y=2$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{9±7}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Reduceți fracția \frac{2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{9}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{81}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Factor y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Adunați \frac{9}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$