Rezolvați 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Rezolvați pentru y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4y^{2}-56y=108$$

Scădeți 108 din ambele părți ale ecuației.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Scăderea 108 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -56 și c cu -108 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -56 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Adunați 3136 cu 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Opusul lui -56 este 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 56 cu 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Împărțiți 56+16\sqrt{19} la 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 16\sqrt{19} din 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Împărțiți 56-16\sqrt{19} la 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Împărțiți -56 la 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Împărțiți 108 la 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Adunați 27 cu 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Factor y^{2}-14y+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Simplificați.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$