Rezolvați 4y^2-24y+27

$$4 y ^ { 2 } - 24 y + 27$$

Descompunere în factori

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 4y^{2}+ay+by+27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-24 ab=4\times 27=108$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 108.

$$-1,-108 -2,-54 -3,-36 -4,-27 -6,-18 -9,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-108=-109 -2-54=-56 -3-36=-39 -4-27=-31 -6-18=-24 -9-12=-21$$

Soluția este perechea care dă suma de -24.

$$a=-18 b=-6$$

Rescrieți 4y^{2}-24y+27 ca \left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right).

$$\left(4y^{2}-18y\right)+\left(-6y+27\right)$$

Factor 2y în primul și -3 în al doilea grup.

$$2y\left(2y-9\right)-3\left(2y-9\right)$$

Scoateți termenul comun 2y-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-24y+27=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\times 27}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\times 27}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 27.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 4}$$

Adunați 576 cu -432.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$y=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 4}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$y=\frac{24±12}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$y=\frac{24±12}{8}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{24±12}{8} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 12.

$$y=\frac{36}{8}$$

Reduceți fracția \frac{36}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y=\frac{9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{24±12}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 24.

$$y=\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{9}{2} și x_{2} cu \frac{3}{2}.

$$4y^{2}-24y+27=4\left(y-\frac{9}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Scădeți \frac{9}{2} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)$$

Scădeți \frac{3}{2} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{2y-9}{2}\times \frac{2y-3}{2}$$

Înmulțiți \frac{2y-9}{2} cu \frac{2y-3}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$4y^{2}-24y+27=4\times \frac{\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)}{4}$$

Simplificați cu 4, cel mai mare factor comun din 4 și 4.

$$4y^{2}-24y+27=\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$

Evaluați

$$\left(2y-9\right)\left(2y-3\right)$$