Rezolvați 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x-y=5$$

Adunați y la ambele părți ale ecuației.

$$4x=y+5$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Înlocuiți x cu \frac{5+y}{4} în cealaltă ecuație, -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Înmulțiți -4 cu \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Adunați -y cu 5y.

$$4y-5=7$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$4y=12$$

Se împart ambele părți la 4.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} cu \frac{3}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=3$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=2,y=3$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Pentru a egala 4x și -4x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu -4 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Simplificați.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Scădeți pe -16x+20y=28 din -16x+4y=-20 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Adunați -16x cu 16x. Termenii -16x și 16x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$4y-20y=-20-28$$

Adunați 4y cu -20y.

$$-16y=-20-28$$

Adunați -20 cu -28.

$$-16y=-48$$

Se împart ambele părți la -16.

$$y=3$$

Înlocuiți y cu 3 în -4x+5y=7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$-4x+5\times 3=7$$

Înmulțiți 5 cu 3.

$$-4x+15=7$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$-4x=-8$$

Se împart ambele părți la -4.

$$x=2$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=2,y=3$$