Rezolvați 4x-x^2+60=0

$$4 x - x ^ { 2 } + 60 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+4x+60=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx+60. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=-60=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 4.

$$a=10 b=-6$$

Rescrieți -x^{2}+4x+60 ca \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-6x+60\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-6x+60\right)$$

Factor -x în primul și -6 în al doilea grup.

$$-x\left(x-10\right)-6\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(-x-6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și -x-6=0.

$$x=10 x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+4x+60=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 4 și c cu 60 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu 60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 16 cu 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-4±16}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±16}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 16.

$$x=\frac{12}{-2}$$

Împărțiți 12 la -2.

$$x=-6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±16}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -4.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Împărțiți -20 la -2.

$$x=10$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-6 x=10$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x+60=0$$

Scădeți 60 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+4x+60-60=-60$$

Scăderea 60 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+4x=-60$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{60}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{60}{-1}$$

Împărțiți 4 la -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{60}{-1}$$

Împărțiți -60 la -1.

$$x^{2}-4x=60$$

Împărțiți -4, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -2. Apoi, adunați pătratul lui -2 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=60+\left(-2\right)^{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x^{2}-4x+4=60+4$$

Adunați 60 cu 4.

$$x^{2}-4x+4=64$$

Factor x^{2}-4x+4. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=64$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Simplificați.

$$x-2=8 x-2=-8$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-6$$