Rezolvați 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x-5y=-14$$

Adunați 5y la ambele părți ale ecuației.

$$4x=5y-14$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} în cealaltă ecuație, 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Înmulțiți 7 cu \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Adunați \frac{35y}{4} cu y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Adunați \frac{49}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{39}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Înmulțiți \frac{5}{4} cu 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Adunați -\frac{7}{2} cu \frac{5}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=2$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-1,y=2$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Pentru a egala 4x și 7x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 7 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Simplificați.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Scădeți pe 28x+4y=-20 din 28x-35y=-98 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Adunați 28x cu -28x. Termenii 28x și -28x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-35y-4y=-98+20$$

Adunați -35y cu -4y.

$$-39y=-98+20$$

Adunați -98 cu 20.

$$-39y=-78$$

Se împart ambele părți la -39.

$$y=2$$

Înlocuiți y cu 2 în 7x+y=-5. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$7x+2=-5$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$7x=-7$$

Se împart ambele părți la 7.

$$x=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=2$$