Rezolvați 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x-3y=2$$

Adunați 3y la ambele părți ale ecuației.

$$4x=3y+2$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Înlocuiți x cu \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} în cealaltă ecuație, x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Adunați \frac{3y}{4} cu 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{23}{4}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=-2$$

Înlocuiți y cu -2 în x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Înmulțiți \frac{3}{4} cu -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} cu -\frac{3}{2} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=-2$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=-1,y=-2$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Pentru a egala 4x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Simplificați.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Scădeți pe 4x+20y=-44 din 4x-3y=2 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Adunați 4x cu -4x. Termenii 4x și -4x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-3y-20y=2+44$$

Adunați -3y cu -20y.

$$-23y=2+44$$

Adunați 2 cu 44.

$$-23y=46$$

Se împart ambele părți la -23.

$$y=-2$$

Înlocuiți y cu -2 în x+5y=-11. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Înmulțiți 5 cu -2.

$$x-10=-11$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$x=-1$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=-1,y=-2$$