Rezolvați 4x(x-4)+7geq0

$$4 x ( x - 4 ) + 7 \geq 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in (-\infty,\frac{1}{2}]\cup [\frac{7}{2},\infty)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x-4.

$$4x^{2}-16x+7\geq 0$$

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+7=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu -16 și c cu 7.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{16±12}{8}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{16±12}{8} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Pentru ca produsul să fie ≥0, x-\frac{7}{2} și x-\frac{1}{2} trebuie să fie ambele fie ≤0, fie ≥0. Tratați cazul în care atât x-\frac{7}{2}, cât și x-\frac{1}{2} sunt ≤0.

$$x-\frac{7}{2}\leq 0 x-\frac{1}{2}\leq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\leq \frac{1}{2}.

$$x\leq \frac{1}{2}$$

Tratați cazul în care atât x-\frac{7}{2}, cât și x-\frac{1}{2} sunt ≥0.

$$x-\frac{1}{2}\geq 0 x-\frac{7}{2}\geq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\geq \frac{7}{2}.

$$x\geq \frac{7}{2}$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\leq \frac{1}{2}\text{; }x\geq \frac{7}{2}$$