Rezolvați 4x(x+3)+(x+2)(x-2)=(2x+3)^2+x-1

$$4 x ( x + 3 ) + ( x + 2 ) ( x - 2 ) = ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } + x - 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Să luăm \left(x+2\right)\left(x-2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Combinați 12x cu x pentru a obține 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Scădeți 1 din 9 pentru a obține 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Combinați 5x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Combinați 12x cu -13x pentru a obține -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$x^{2}-x-4-8=0$$

Scădeți 8 din -4 pentru a obține -12.

$$x^{2}-x-12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-x-12 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-4 b=3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și x+3=0.

$$x=4 x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Să luăm \left(x+2\right)\left(x-2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Combinați 12x cu x pentru a obține 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Scădeți 1 din 9 pentru a obține 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Combinați 5x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Combinați 12x cu -13x pentru a obține -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$x^{2}-x-4-8=0$$

Scădeți 8 din -4 pentru a obține -12.

$$x^{2}-x-12=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-4 b=3$$

Rescrieți x^{2}-x-12 ca \left(x^{2}-4x\right)+\left(3x-12\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(3x-12\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(x-4\right)+3\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și x+3=0.

$$x=4 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Să luăm \left(x+2\right)\left(x-2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Combinați 12x cu x pentru a obține 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Scădeți 1 din 9 pentru a obține 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Combinați 5x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Combinați 12x cu -13x pentru a obține -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Scădeți 8 din ambele părți.

$$x^{2}-x-4-8=0$$

Scădeți 8 din -4 pentru a obține -12.

$$x^{2}-x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -1 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-12\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2}$$

Adunați 1 cu 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±7}{2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 7.

$$x=\frac{8}{2}$$

Împărțiți 8 la 2.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±7}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 1.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4x cu x+3.

$$4x^{2}+12x+\left(x+2\right)\left(x-2\right)=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Să luăm \left(x+2\right)\left(x-2\right). Înmulțirea poate fi transformată în diferența pătratelor, folosind regula: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ridicați 2 la pătrat.

$$4x^{2}+12x+x^{2}-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Combinați 4x^{2} cu x^{2} pentru a obține 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=\left(2x+3\right)^{2}+x-1$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(2x+3\right)^{2}.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+12x+9+x-1$$

Combinați 12x cu x pentru a obține 13x.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+9-1$$

Scădeți 1 din 9 pentru a obține 8.

$$5x^{2}+12x-4=4x^{2}+13x+8$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$5x^{2}+12x-4-4x^{2}=13x+8$$

Combinați 5x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+12x-4=13x+8$$

Scădeți 13x din ambele părți.

$$x^{2}+12x-4-13x=8$$

Combinați 12x cu -13x pentru a obține -x.

$$x^{2}-x-4=8$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$x^{2}-x=8+4$$

Adunați 8 și 4 pentru a obține 12.

$$x^{2}-x=12$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Adunați 12 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-3$$