Rezolvați 4x^2-x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-5 b=4$$

Rescrieți 4x^{2}-x-5 ca \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

Scoateți factorul comun x din 4x^{2}-5x.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Scoateți termenul comun 4x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-5=0 și x+1=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -1 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

Adunați 1 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±9}{8} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 9.

$$x=\frac{10}{8}$$

Reduceți fracția \frac{10}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±9}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 1.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Împărțiți -8 la 8.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$4x^{2}-x=5$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

Împărțiți -\frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Adunați \frac{5}{4} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Adunați \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$