Rezolvați 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-12 b=3$$

Rescrieți 4x^{2}-9x-9 ca \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -9 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Adunați 81 cu 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±15}{8} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Împărțiți 24 la 8.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±15}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Împărțiți -\frac{9}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Adunați \frac{9}{4} cu \frac{81}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Adunați \frac{9}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$