Rezolvați 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -7 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Adunați 49 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{65} din 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți -\frac{7}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{49}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Adunați \frac{7}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$