Rezolvați 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-2 b=-2$$

Rescrieți 4x^{2}-4x+1 ca \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Factor 2x în primul și -1 în al doilea grup.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -4 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Adunați -\frac{1}{4} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{1}{2}$$