Rezolvați 4x^2-24x-28=0

$$4 x ^ { 2 } - 24 x - 28 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 4.

$$x^{2}-6x-7=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-6 ab=1\left(-7\right)=-7$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-7 b=1$$

Rescrieți x^{2}-6x-7 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(x-7\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(x-7\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-7x.

$$x\left(x-7\right)+x-7$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x+1=0.

$$x=7 x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-24x-28=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -24 și c cu -28 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 4\left(-28\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 4\left(-28\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-16\left(-28\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -28.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+448}}{2\times 4}$$

Adunați 576 cu 448.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1024}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1024.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±32}{2\times 4}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±32}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{24±32}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±32}{8} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 32.

$$x=\frac{56}{8}$$

Împărțiți 56 la 8.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±32}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 32 din 24.

$$x=-\frac{8}{8}$$

Împărțiți -8 la 8.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-24x-28=0$$

Adunați 28 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-24x-28-\left(-28\right)=-\left(-28\right)$$

Scăderea -28 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-24x=-\left(-28\right)$$

Scădeți -28 din 0.

$$4x^{2}-24x=28$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-24x}{4}=\frac{28}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{4}\right)x=\frac{28}{4}$$

Împărțiți -24 la 4.

$$x^{2}-6x=\frac{28}{4}$$

Împărțiți 28 la 4.

$$x^{2}-6x=7$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x^{2}-6x+9=7+9$$

Adunați 7 cu 9.

$$x^{2}-6x+9=16$$

Factor x^{2}-6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x-3=4 x-3=-4$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-1$$