Rezolvați 4x^2-20x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-11. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Soluția este perechea care dă suma de -20.

$$a=-22 b=2$$

Rescrieți 4x^{2}-20x-11 ca \left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 4x^{2}-22x.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

Scoateți termenul comun 2x-11 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-11=0 și 2x+1=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -20 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Adunați 400 cu 176.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 576.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±24}{8} atunci când ± este plus. Adunați 20 cu 24.

$$x=\frac{44}{8}$$

Reduceți fracția \frac{44}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{20±24}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 24 din 20.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Adunați 11 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Scăderea -11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

Scădeți -11 din 0.

$$4x^{2}-20x=11$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

Împărțiți -20 la 4.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Adunați \frac{11}{4} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$