Rezolvați 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -18 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Ridicați -18 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Adunați 324 cu -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Opusul lui -18 este 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 18 cu 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Împărțiți 18+2\sqrt{61} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{61} din 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Împărțiți 18-2\sqrt{61} la 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Împărțiți -\frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Adunați -\frac{5}{4} cu \frac{81}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Adunați \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$