Rezolvați 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1,75+0,433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1,75-0,433012702i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -14 și c cu 13 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

Adunați 196 cu -208.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -12.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

Împărțiți 14+2i\sqrt{3} la 8.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{3} din 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

Împărțiți 14-2i\sqrt{3} la 8.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Scădeți 13 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

Scăderea 13 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-14x=-13$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

Împărțiți -\frac{7}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

Adunați -\frac{13}{4} cu \frac{49}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Adunați \frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$