Rezolvați 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-18 b=6$$

Rescrieți 4x^{2}-12x-27 ca \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-9=0 și 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -12 și c cu -27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Adunați 144 cu 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±24}{8} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Reduceți fracția \frac{36}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±24}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 24 din 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Adunați 27 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Scăderea -27 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Scădeți -27 din 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Împărțiți -12 la 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Adunați \frac{27}{4} cu \frac{9}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$