Rezolvați 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Scădeți 16 din 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -11 și c cu 14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Adunați 121 cu -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{103} din 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Scădeți 30 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Scăderea 30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Scădeți 30 din 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Împărțiți -\frac{11}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Adunați -\frac{7}{2} cu \frac{121}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Adunați \frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$