Rezolvați 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu 8 și c cu -45.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{-8±28}{8} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

Pentru ca produsul să fie negativ, x-\frac{5}{2} și x+\frac{9}{2} trebuie să fie de semne opuse. Tratați cazul în care x-\frac{5}{2} este pozitiv și x+\frac{9}{2} este negativ.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Este fals pentru orice x.

$$x\in \emptyset$$

Tratați cazul în care x+\frac{9}{2} este pozitiv și x-\frac{5}{2} este negativ.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$