Rezolvați 4x^2+7x-17=3x^2+12x-3

$$4 x ^ { 2 } + 7 x - 17 = 3 x ^ { 2 } + 12 x - 3$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Combinați 4x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Combinați 7x cu -12x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Adunați -17 și 3 pentru a obține -14.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori x^{2}-5x-14 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -14 de produs.

$$1,-14 2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-7 b=2$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-7=0 și x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Combinați 4x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Combinați 7x cu -12x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Adunați -17 și 3 pentru a obține -14.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-5 ab=1\left(-14\right)=-14$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -14 de produs.

$$1,-14 2,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-7 b=2$$

Rescrieți x^{2}-5x-14 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(2x-14\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 2 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x-7=0 și x+2=0.

$$x=7 x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Combinați 4x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Combinați 7x cu -12x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$x^{2}-5x-17+3=0$$

Adunați -17 și 3 pentru a obține -14.

$$x^{2}-5x-14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -5 și c cu -14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -14.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+56}}{2}$$

Adunați 25 cu 56.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±9}{2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±9}{2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 9.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±9}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 5.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Împărțiți -4 la 2.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 3x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+7x-17-3x^{2}=12x-3$$

Combinați 4x^{2} cu -3x^{2} pentru a obține x^{2}.

$$x^{2}+7x-17=12x-3$$

Scădeți 12x din ambele părți.

$$x^{2}+7x-17-12x=-3$$

Combinați 7x cu -12x pentru a obține -5x.

$$x^{2}-5x-17=-3$$

Adăugați 17 la ambele părți.

$$x^{2}-5x=-3+17$$

Adunați -3 și 17 pentru a obține 14.

$$x^{2}-5x=14$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=14+\frac{25}{4}$$

Adunați 14 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$$

Factorul x^{2}-5x+\frac{25}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{9}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-2$$