Rezolvați 4x^2+7x=1

$$4 x ^ { 2 } + 7 x = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}\approx 0,132782219$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}\approx -1,882782219$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+7x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+7x-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+7x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 7 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Adunați 49 cu 16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±\sqrt{65}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{65} din -7.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+7x=1$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți \frac{7}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Adunați \frac{1}{4} cu \frac{49}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Scădeți \frac{7}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{65}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{65}-7}{8}$$