Rezolvați 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0,190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1,309016994$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 6 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Adunați 36 cu -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Împărțiți -6+2\sqrt{5} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{5} din -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Împărțiți -6-2\sqrt{5} la 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Împărțiți \frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Adunați -\frac{1}{4} cu \frac{9}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Scădeți \frac{3}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$