Rezolvați 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-81. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -324 de produs.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 48.

$$a=-6 b=54$$

Rescrieți 4x^{2}+48x-81 ca \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 27 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-3=0 și 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 48 și c cu -81 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 48 la pătrat.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Adunați 2304 cu 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-48±60}{8} atunci când ± este plus. Adunați -48 cu 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-48±60}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 60 din -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-108}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Adunați 81 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Scăderea -81 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Scădeți -81 din 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Împărțiți 48 la 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Împărțiți 12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 6. Apoi, adunați pătratul lui 6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Adunați \frac{81}{4} cu 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Factorul x^{2}+12x+36. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Simplificați.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$