Rezolvați 4x^2+4x=5

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 5$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx 0,724744871$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}\approx -1,724744871$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+4x=5$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+4x-5=5-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+4x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 4 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 80.

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 96.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}$$

Împărțiți -4+4\sqrt{6} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{6} din -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}$$

Împărțiți -4-4\sqrt{6} la 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=5$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x^{2}+x=\frac{5}{4}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}$$

Adunați \frac{5}{4} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$

Factorul x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$