Rezolvați 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 4 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Împărțiți -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} la 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 8i\sqrt{2} din -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Împărțiți -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} la 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Adunați -\frac{9}{4} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$