Rezolvați 4x^2+4x+1=9x^2

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 9 x ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Combinați 4x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -5x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -5x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=4 ab=-5=-5$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=5 b=-1$$

Rescrieți -5x^{2}+4x+1 ca \left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-x+1\right)$$

Scoateți factorul comun 5x din -5x^{2}+5x.

$$5x\left(-x+1\right)-x+1$$

Scoateți termenul comun -x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+1\right)\left(5x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+1=0 și 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Combinați 4x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -5x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 4 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+20}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 16 cu 20.

$$x=\frac{-4±\sqrt{36}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$x=\frac{-4±6}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$x=\frac{-4±6}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±6}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 6.

$$x=\frac{2}{-10}$$

Reduceți fracția \frac{2}{-10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±6}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din -4.

$$x=-\frac{10}{-10}$$

Împărțiți -10 la -10.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{5} x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Combinați 4x^{2} cu -9x^{2} pentru a obține -5x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-5x^{2}+4x=-1$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5x^{2}+4x}{-5}=-\frac{1}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$x^{2}+\frac{4}{-5}x=-\frac{1}{-5}$$

Împărțiți 4 la -5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{1}{-5}$$

Împărțiți -1 la -5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Împărțiți -\frac{4}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Adunați \frac{1}{5} cu \frac{4}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Adunați \frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$