Rezolvați 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 10.

$$1,10 2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+10=11 2+5=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=2 b=5$$

Rescrieți x^{2}+7x+10 ca \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Scoateți termenul comun x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+2=0 și x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 28 și c cu 40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Ridicați 28 la pătrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Adunați 784 cu -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±12}{8} atunci când ± este plus. Adunați -28 cu 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Împărțiți -16 la 8.

$$x=-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±12}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Împărțiți -40 la 8.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-2 x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Scădeți 40 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Scăderea 40 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Împărțiți 28 la 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Împărțiți -40 la 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Împărțiți 7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Adunați -10 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Scădeți \frac{7}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-2 x=-5$$