Rezolvați 4x^2+25x=-36

$$4 x ^ { 2 } + 25 x = - 36$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2,25$$

$$x=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 36 la ambele părți.

$$4x^{2}+25x+36=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+36. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=25 ab=4\times 36=144$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Soluția este perechea care dă suma de 25.

$$a=9 b=16$$

Rescrieți 4x^{2}+25x+36 ca \left(4x^{2}+9x\right)+\left(16x+36\right).

$$\left(4x^{2}+9x\right)+\left(16x+36\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(4x+9\right)+4\left(4x+9\right)$$

Scoateți termenul comun 4x+9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x+9\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x+9=0 și x+4=0.

$$x=-\frac{9}{4} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+25x=-36$$

Adunați 36 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+25x-\left(-36\right)=-36-\left(-36\right)$$

Scăderea -36 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+25x-\left(-36\right)=0$$

Scădeți -36 din 0.

$$4x^{2}+25x+36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 25 și c cu 36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Ridicați 25 la pătrat.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 4\times 36}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-16\times 36}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 36.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-576}}{2\times 4}$$

Adunați 625 cu -576.

$$x=\frac{-25±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-25±7}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-25±7}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±7}{8} atunci când ± este plus. Adunați -25 cu 7.

$$x=-\frac{18}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-25±7}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -25.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Împărțiți -32 la 8.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{9}{4} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+25x=-36$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+25x}{4}=-\frac{36}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x=-\frac{36}{4}$$

Împărțiți -36 la 4.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x=-9$$

Împărțiți \frac{25}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{25}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{25}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x+\left(\frac{25}{8}\right)^{2}=-9+\left(\frac{25}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{25}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=-9+\frac{625}{64}$$

Adunați -9 cu \frac{625}{64}.

$$x^{2}+\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}=\frac{49}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{25}{4}x+\frac{625}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{25}{8}=\frac{7}{8} x+\frac{25}{8}=-\frac{7}{8}$$

Scădeți \frac{25}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{9}{4} x=-4$$