Rezolvați 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt pozitive. Enumerați toate perechile întregi care oferă 8 de produs.

$$1,8 2,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+8=9 2+4=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 6.

$$a=2 b=4$$

Rescrieți x^{2}+6x+8 ca \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 4 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Scoateți termenul comun x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați x+2=0 și x+4=0.

$$x=-2 x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 24 și c cu 32 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Ridicați 24 la pătrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Adunați 576 cu -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±8}{8} atunci când ± este plus. Adunați -24 cu 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Împărțiți -16 la 8.

$$x=-2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±8}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Împărțiți -32 la 8.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-2 x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Scădeți 32 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Scăderea 32 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Împărțiți 24 la 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Împărțiți -32 la 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Împărțiți 6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 3. Apoi, adunați pătratul lui 3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Adunați -8 cu 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Factorul x^{2}+6x+9. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-2 x=-4$$