Rezolvați 4x^2+20x+25=49

$$4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 = 49$$

Rezolvați pentru x

$$x=-6$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 49 din ambele părți.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

Scădeți 49 din 25 pentru a obține -24.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x^{2}+5x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-1 b=6$$

Rescrieți x^{2}+5x-6 ca \left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right)$$

Factor x în primul și 6 în al doilea grup.

$$x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(x+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și x+6=0.

$$x=1 x=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

Scădeți 49 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+20x+25-49=49-49$$

Scăderea 49 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

Scădeți 49 din 25.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 20 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -24.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 4}$$

Adunați 400 cu 384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-20±28}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±28}{8} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 28.

$$x=\frac{8}{8}$$

Împărțiți 8 la 8.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-20±28}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 28 din -20.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Împărțiți -48 la 8.

$$x=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

Scădeți 25 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+20x+25-25=49-25$$

Scăderea 25 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+20x=49-25$$

Scădeți 25 din 49.

$$4x^{2}+20x=24$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=\frac{24}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=\frac{24}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$x^{2}+5x=\frac{24}{4}$$

Împărțiți 24 la 4.

$$x^{2}+5x=6$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

Adunați 6 cu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-6$$