Rezolvați 4x^2+20x+25=0

$$4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+25. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=20 ab=4\times 25=100$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

Soluția este perechea care dă suma de 20.

$$a=10 b=10$$

Rescrieți 4x^{2}+20x+25 ca \left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right).

$$\left(4x^{2}+10x\right)+\left(10x+25\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(2x+5\right)+5\left(2x+5\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+5\right)\left(2x+5\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(2x+5\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 2x+5=0.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+20x+25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 20 și c cu 25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\times 25}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 25.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-400}}{2\times 4}$$

Adunați 400 cu -400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{20}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+20x+25=0$$

Scădeți 25 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+20x+25-25=-25$$

Scăderea 25 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+20x=-25$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$x^{2}+5x=-\frac{25}{4}$$

Împărțiți 5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{-25+25}{4}$$

Adunați -\frac{25}{4} cu \frac{25}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=0$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{2}=0 x+\frac{5}{2}=0$$

Scădeți \frac{5}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{5}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=-\frac{5}{2}$$