Rezolvați 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 21 din ambele părți.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Scădeți 21 din 1 pentru a obține -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-4 b=5$$

Rescrieți 2x^{2}+x-10 ca \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Scădeți 21 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Scăderea 21 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Scădeți 21 din 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 2 și c cu -20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Adunați 4 cu 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±18}{8} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Împărțiți 16 la 8.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±18}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Scădeți 1 din 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Reduceți fracția \frac{2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Adunați 5 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$