Rezolvați 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 14 și c cu -27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 14 la pătrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Adunați 196 cu 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -14 cu 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Împărțiți -14+2\sqrt{157} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{157} din -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Împărțiți -14-2\sqrt{157} la 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Adunați 27 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Scăderea -27 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Scădeți -27 din 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Reduceți fracția \frac{14}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Împărțiți \frac{7}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Adunați \frac{27}{4} cu \frac{49}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Scădeți \frac{7}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$