Rezolvați 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-5 b=16$$

Rescrieți 4x^{2}+11x-20 ca \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 4x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-5=0 și x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 11 și c cu -20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Adunați 121 cu 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±21}{8} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Reduceți fracția \frac{10}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±21}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 21 din -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Împărțiți -32 la 8.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Adunați 20 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Scăderea -20 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Scădeți -20 din 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Împărțiți 20 la 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Împărțiți \frac{11}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Adunați 5 cu \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Scădeți \frac{11}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$