Rezolvați 4x=4x^2-8x+4

$$4 x = 4 x ^ { 2 } - 8 x + 4$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$4x-4x^{2}=-8x+4$$

Adăugați 8x la ambele părți.

$$4x-4x^{2}+8x=4$$

Combinați 4x cu 8x pentru a obține 12x.

$$12x-4x^{2}=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$12x-4x^{2}-4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+12x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 12 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-64}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 144 cu -64.

$$x=\frac{-12±\sqrt{80}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 80.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}-12}{-8}$$

Împărțiți -12+4\sqrt{5} la -8.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{5} din -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}-12}{-8}$$

Împărțiți -12-4\sqrt{5} la -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$4x-4x^{2}=-8x+4$$

Adăugați 8x la ambele părți.

$$4x-4x^{2}+8x=4$$

Combinați 4x cu 8x pentru a obține 12x.

$$12x-4x^{2}=4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x=4$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=\frac{4}{-4}$$

Împărțiți 12 la -4.

$$x^{2}-3x=\frac{4}{-4}$$

Împărțiți 4 la -4.

$$x^{2}-3x=-1$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$