Rezolvați 4x+2y=0quadtext{D)}6x-2y=0

$$4 x + 2 y = 0 \quad \text { D) } 6 x - 2 y = 0$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$4x+2y=0$$

Scădeți 2y din ambele părți ale ecuației.

$$4x=-2y$$

Se împart ambele părți la 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)y$$

Înmulțiți \frac{1}{4} cu -2y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Înlocuiți x cu -\frac{y}{2} în cealaltă ecuație, 6x-2y=0.

$$6\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=0$$

Înmulțiți 6 cu -\frac{y}{2}.

$$-3y-2y=0$$

Adunați -3y cu -2y.

$$-5y=0$$

Se împart ambele părți la -5.

$$y=0$$

Înlocuiți y cu 0 în x=-\frac{1}{2}y. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=0,y=0$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{4}{4\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=0,y=0$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Pentru a egala 4x și 6x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 6 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 4.

$$6\times 4x+6\times 2y=0,4\times 6x+4\left(-2\right)y=0$$

Simplificați.

$$24x+12y=0,24x-8y=0$$

Scădeți pe 24x-8y=0 din 24x+12y=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$24x-24x+12y+8y=0$$

Adunați 24x cu -24x. Termenii 24x și -24x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$12y+8y=0$$

Adunați 12y cu 8y.

$$20y=0$$

Se împart ambele părți la 20.

$$y=0$$

Înlocuiți y cu 0 în 6x-2y=0. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$6x=0$$

Se împart ambele părți la 6.

$$x=0$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=0,y=0$$