Rezolvați 4u^2-5u=6

$$4 u ^ { 2 } - 5 u = 6$$

Rezolvați pentru u

$$u=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$u=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 6 din ambele părți.

$$4u^{2}-5u-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4u^{2}+au+bu-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=4\left(-6\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-8 b=3$$

Rescrieți 4u^{2}-5u-6 ca \left(4u^{2}-8u\right)+\left(3u-6\right).

$$\left(4u^{2}-8u\right)+\left(3u-6\right)$$

Factor 4u în primul și 3 în al doilea grup.

$$4u\left(u-2\right)+3\left(u-2\right)$$

Scoateți termenul comun u-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(u-2\right)\left(4u+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați u-2=0 și 4u+3=0.

$$u=2 u=-\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4u^{2}-5u=6$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$4u^{2}-5u-6=6-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4u^{2}-5u-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -5 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -6.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 4}$$

Adunați 25 cu 96.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$u=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 4}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$u=\frac{5±11}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$u=\frac{5±11}{8}$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{5±11}{8} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 11.

$$u=\frac{16}{8}$$

Împărțiți 16 la 8.

$$u=2$$

Acum rezolvați ecuația u=\frac{5±11}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 5.

$$u=-\frac{6}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$u=-\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$u=2 u=-\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4u^{2}-5u=6$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4u^{2}-5u}{4}=\frac{6}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u=\frac{6}{4}$$

Reduceți fracția \frac{6}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u=\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u+\frac{25}{64}=\frac{3}{2}+\frac{25}{64}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{25}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$u^{2}-\frac{5}{4}u+\frac{25}{64}=\frac{121}{64}$$

Factor u^{2}-\frac{5}{4}u+\frac{25}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{121}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(u-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{64}}$$

Simplificați.

$$u-\frac{5}{8}=\frac{11}{8} u-\frac{5}{8}=-\frac{11}{8}$$

Adunați \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației.

$$u=2 u=-\frac{3}{4}$$